---

一、植物园，1916年春。一场被窃听的谈话

1916年春天，休戈·施泰因豪斯（Hugo Steinhaus）——1911年在哥廷根大学在大卫·希尔伯特（David Hilbert）的指导下获得博士学位——漫步在克拉科夫的植物园。长椅上传来两个不该出现在那里的词：“勒贝格测度”（miara Lebesgue'a）。他走上前去。奥托·尼科迪姆（Otto Nikodym）和24岁的斯特凡·巴纳赫（Stefan Banach）坐在那里——巴纳赫没有头衔，没有职位，也没有完成学业。

巴纳赫于1892年3月30日出生在克拉科夫，是一个非婚生子。他的父亲斯特凡·格雷切克（Stefan Greczek）是波德哈莱山区的山区居民，也是奥匈帝国政府的官员，从未与巴纳赫的母亲结婚，也未向儿子透露母亲的身份。这个男孩的姓氏取自出生证明上登记的卡塔日娜·巴纳赫（Katarzyna Banach）。他最初由祖母抚养，后来由格罗兹卡街洗衣店老板弗朗西什卡·普沃瓦（Franciszka Płowa）和她的女儿玛丽亚·普哈尔斯卡（Maria Puchalska）抚养；玛丽亚的监护人朱利叶斯·米恩（Juliusz Mien）教他法语。1902年，他进入克拉科夫第四中学，也就是以显克维奇命名的那所中学，并于1910年在那里高中毕业——没有获得任何荣誉。

他认为数学领域已无新发现，于是在1910年秋进入利沃夫理工学院攻读土木工程。他完成了半个文凭，但从未获得完整的文凭。他因左眼缺陷未能入伍，于是从事道路建设和维修的监督工作，同时兼职辅导。这就是这位坐在长椅上的人的履历。

施泰因豪斯给他出了一个他自己也苦恼的问题。几天后，巴纳赫带着一个反例的想法回来了；他们的合作成果于1918年发表在克拉科夫科学院的公报上——这是巴纳赫的第一篇出版物。1919年4月2日，这三人组在克拉科夫成立了数学学会，这是波兰数学学会的雏形。施泰因豪斯后来称巴纳赫是他最伟大的科学发现。通过施泰因豪斯，巴纳赫也认识了卢茨娅·布劳斯（Łucja Braus），并于1920年在扎科帕内与她结婚。十九年后，正是她购买了那本笔记本。

二、没有文凭的教授职位

1920年，安东尼·沃姆尼茨基（Antoni Łomnicki）聘请巴纳赫为利沃夫理工学院的助理。由于巴纳赫没有完成数学学业，学校破例允许他仅凭论文进行博士答辩。他于1920年11月3日通过了考试，并于1921年1月22日获得了学位。这篇论文于1922年发表在《数学基础》（Fundamenta Mathematicae）上，至今仍被认为是泛函分析诞生的标志。

接下来的一切都进展神速：1922年6月30日，在扬·卡齐米日大学获得大学任教资格；7月22日，获得特聘教授职位；1924年，成为波兰科学院通讯院士并在巴黎度过一年；1927年，获得正教授职位和第二数学教席。1929年，巴纳赫和施泰因豪斯创办了《数学研究》（Studia Mathematica），一本专门致力于泛函分析的期刊。1931年，波兰语版的《算子理论：线性算子》（Teoria operacyj. Operacje linjowe）问世，一年后又以法语版《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）出版——这本书奠定了整个领域的基础。此外，1936年在奥斯陆大会上发表全体报告，1939年获得波兰科学院大奖并担任波兰数学学会主席。他著有六十多篇论文和十本教科书——靠教科书为生。

今天以他命名的事物列表，比使用这些事物的领域列表要短：

• 巴纳赫空间——泛函分析的基本对象。这个名字由莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）创造，构造者是巴纳赫。
• 哈恩-巴纳赫定理——特殊情况由爱德华·赫利（Eduard Helly）在1912年证明，范数空间版本由汉斯·哈恩（Hans Hahn）在1927年证明，一般版本由巴纳赫在1929年证明。
• 巴纳赫-施泰因豪斯定理——1927年发表在《数学基础》上；哈恩也独立证明了它。
• 巴纳赫-塔斯基悖论——论文《关于点集分解成相应全等部分》（Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes），《数学基础》第6卷（1924年），第244-277页。
• 巴纳赫代数和巴纳赫-马祖尔博弈——两者都源于桌边谈话，而非研讨会。

三、没有公式的巴纳赫空间

这个空间的元素并非点，而是整个函数：信号的轨迹，梁中的应力分布，温度曲线。它们可以相加，可以乘以一个数，并可以给它们指定一个“长度”——衡量它们与零的偏差程度。这就是范数。第三个也是最重要的条件：如果这样一系列的对象越来越紧密地收敛，它们的极限必须位于同一个空间中，而不能落到空间之外。这就是巴纳赫空间。

1922年的革命在于顺序。在巴纳赫之前，人们会取一个具体的函数空间，然后费力地从头开始证明其中的定理，接着是下一个空间，再重复一遍。巴纳赫列出了公理——一组最小的条件——并直接从它们进行证明。一旦证明完成，它就适用于满足这些条件的所有空间。这就是建造者的逻辑：你不是为每件夹克设计一个单独的缝合线，而是制定一个缝合规范。

泛函分析的三大支柱就建立在此之上。哈恩-巴纳赫定理：定义在空间一部分上的泛函可以扩展到整个空间而性质不减，因此测量工具永远不会缺乏。巴纳赫-施泰因豪斯定理：在每个单点有界的算子族是一致有界的，因此逐点控制就足够了。第三个支柱是开映射定理。

巴纳赫最著名的成果是另一回事。在他和阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）1924年的论文中，他们两人证明了一个球可以分解成有限数量的碎片，然后通过纯粹的旋转和位移，将这些碎片重新组合成两个与原始球完全相同的球。诀窍在于这些碎片并非实体：它们是无限的点云，无法赋予体积。整个理论基于选择公理，作者们自己也写道，这个公理的作用值得关注。1947年，拉斐尔·鲁宾逊（Raphael Robinson）证明了五个碎片就足够了，而且不能再少了。

四、大理石、化学铅笔、十七个小时

这项工作并非在黑板前完成。大学附近街对面有两家咖啡馆：“罗马”和“苏格兰”。乌拉姆记载说，他们最初坐在“罗马”，一两年后巴纳赫决定搬到“苏格兰”。“苏格兰”咖啡馆的桌子是大理石桌面，可以用化学铅笔在上面写字，也可以擦掉。

会议持续了十几个小时。乌拉姆在《数学家的冒险》中回忆了与巴纳赫和马祖尔的一次会议，除了用餐时间，连续十七个小时不间断。他还描述了旁观者眼中的情景：长时间的沉默，然后几个人同时发言，有人在大理石上写下几个符号，另一个人爆发大笑——而邻桌的客人们则始终处于一种持续的震惊状态。

“甚至有一次会议，持续了17个小时——其结果是证明了巴纳赫空间中的一个重要定理——但没有人记录下来，今天也无法重现……可能那张桌子，上面布满了化学铅笔的痕迹，在会议结束后，像往常一样，被咖啡馆的女清洁工擦洗干净了。” — 休戈·施泰因豪斯

这才是问题的关键。该地区最优秀的数学团队的成果，每天晚上都会在湿抹布下消失。记录是存在的——只是载体一无是处。

五、一本2.5兹罗提的笔记本

解决办法是草稿本。施泰因豪斯将购买行为归因于卢茨娅·巴纳霍娃：一本2.5兹罗提的硬壳厚笔记本，交给了苏格兰咖啡馆的收银员。乌拉姆的记忆则不同——他认为巴纳赫本人在大约1933年或1934年购买了它。两种说法都同意机制：笔记本放在咖啡馆里，应要求由服务员取出，客人离开后收回。

“巴纳赫于是买了一本笔记本，用来记录问题，每个问题都附上作者姓名和日期。” — 斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆

第一个条目日期为1935年7月17日，由巴纳赫亲笔写下。最后一个条目，第193个，是施泰因豪斯于1941年5月31日所写——德军袭击苏联前三周；它涉及火柴盒中火柴的概率分布。六年来，平均每年记录二十七个问题。作者统计（包括独立和共同条目）：乌拉姆62个，马祖尔47个，巴纳赫23个，奥利茨14个，施泰因豪斯和约瑟夫·施赖尔各10个。由于部分任务包含子项，因此研究结果略有出入。

最有趣的是，普通习题集中没有的东西：报酬直接写在题目旁边。赌注连同承诺一同写在了纸上。

• 小杯咖啡——书中最低的赌注，由施泰因豪斯提出。
• 一瓶葡萄酒，五小杯啤酒，一瓶威士忌——最后一项由约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）提出，并明确指出“容量大于零”。
• 十德卡鱼子酱，一公斤培根——那个时代实物奖励，一公斤黄油大约四兹罗提。
• 利沃夫乔治酒店的一顿午餐——施泰因豪斯为更具挑战性的问题设定的赌注。
• 剑桥多萝西餐厅的香槟和午餐，日内瓦的奶油火锅——外国客人沃德（Ward）和罗林·瓦夫雷（Rolin Wavre）的奖励。
• 一只活鹅——问题153，斯坦尼斯瓦夫·马祖尔，1936年11月6日。

问题153问了一个看似技术性、实则根本性的问题：每个可分巴纳赫空间是否都有一个沙德尔基。这个问题搁置了三十六年。1972年，瑞典数学家佩尔·恩弗洛（Per Enflo）构造了一个反例——一个没有逼近性质，因此也没有基的空间。这篇名为《巴纳赫空间逼近问题的反例》（A counterexample to the approximation problem in Banach spaces）的论文于1973年发表在《数学学报》（Acta Mathematica）第130卷，第309-317页。马祖尔在华沙斯特凡·巴纳赫国际数学中心，在电视摄像机前，亲手将活鹅交给了他。

那只鹅遮蔽了其他所有东西，而其他东西也一直在发挥作用。斯坦尼斯瓦夫·鲁日维茨（Stanisław Ruziewicz）提出的第59个问题——关于如何将一个正方形分解成边长不同的正方形——在三十年代末得到了解决；第一个构造方案由罗兰·斯普拉格（Roland Sprague）于1939年提出。乌拉姆提出的关于随机图连通性的第38个问题，比埃尔德什（Erdős）和雷尼（Rényi）1959年的理论早了二十年。关于漂浮体在任何位置都保持平衡的第19个问题，一直等到2022年才得到解决。一些问题至今仍未解决。

了解2.50兹罗提的意义是很重要的。1935年，工业工人平均月收入为102.77兹罗提，脑力劳动者为280.50兹罗提。赫尔曼·奥尔巴赫（Herman Auerbach），同一个咖啡馆的数学家，1923年刚开始做演示员时月薪130兹罗提，获得大学任教资格后才升至助理教授的335兹罗提。男士皮鞋24.66兹罗提，白衬衫9.50兹罗提，一公斤黑麦面包30格罗希。这本笔记本的开销大约相当于八公斤面包。这就是该地区最优秀数学团队六年工作的保障成本。

六、球队阵容

这不是兴趣小组，而是一个分工明确的团队。在扬·卡齐米日大学，三十年代中期有四个数学系：Eustachy Żyliński、Steinhaus、Banach和Ruziewicz。在理工学院，由Włodzimierz Stożek、Antoni Łomnicki和Kazimierz Kuratowski（六年）负责，Kazimierz Bartel负责画法几何。不查民族。

• Hugo Steinhaus (1887–1972) — 希尔伯特的博士生，《数学研究》的共同创始人。在德国占领期间，他以已故森林管理员Grzegorz Krochmalny的身份躲藏起来，并在秘密课程中教学。战后，他在弗罗茨瓦夫从零开始重建了数学。
• Stanisław Mazur (1905–1981) — Banach–Mazur博弈，Gelfand–Mazur定理，Mazur–Ulam定理；1935年在Banach门下获得博士学位。是鹅问题的提出者。战后去了罗兹，然后是华沙大学和波兰科学院。
• Stanisław Ulam (1909–1984) — 1939年8月去了美国，再也没有回来。洛斯阿拉莫斯，曼哈顿计划，蒙特卡洛方法。是他将《苏格兰之书》翻译成英文。
• Władysław Orlicz (1903–1990) — Orlicz空间，在书中有十四处记载。他活过了战争，战后在波兹南重建了数学。
• Juliusz Schauder (1899–1943) — 定点定理，Schauder基，Leray–Schauder度；自1935年起担任Steinhaus的高级助理。德国人入侵后，他写信请求德国数学家Ludwig Bieberbach帮助；后者将信转交给了盖世太保。可能于1943年10月被枪决。妻子死于马伊达内克集中营，女儿幸存。
• Stefan Kaczmarz (1895–1939) — Kaczmarz方法，如今是断层扫描图像重建算法的基础；与Steinhaus合著了《正交序列理论》(1935)。1939年9月3日入伍，9月4日从Nisko寄出最后一封信。1939年9月牺牲，具体情况至今不明。
• Herman Auerbach (1901–1942) — Auerbach引理。被囚禁在利沃夫贫民区，1942年遇害；关于是在贝尔热茨集中营还是在被运送前自杀，说法不一。
• Stanisław Ruziewicz (1889–1941) — 关于球面上勒贝格测度的Ruziewicz问题，1913年在Sierpiński门下获得博士学位，利沃夫对外贸易学院的最后一任校长。1941年7月12日被盖世太保枪杀。
• Józef Schreier (1909–1943) — Schreier集，与Ulam合作发表了八篇论文，书中记载了十个问题；与Ulam是唯一被允许在桌边讨论的学生。1943年4月，德国人用了三天时间炸毁了他在德罗霍贝奇藏身的掩体；他服用了氰化物。
• Otto Nikodym (1887–1974) — 普兰蒂公园长椅上的第二位对话者。他的名字被冠以Radon–Nikodym定理，这是测度论的支柱之一。

七、两次占领和武莱茨山丘

1939年9月22日，苏联占领利沃夫。扬·卡齐米日大学更名为伊万·弗兰科大学。巴拿赫保留了教职，被任命为数理学院院长，并接受了利沃夫市议会代表的职务。1940年，谢尔盖·索博列夫和帕维尔·亚历山德罗夫拜访了他。记事本上的记录继续着。

1941年6月22日，德国进攻苏联。巴拿赫当时在基辅，勉强赶回。很快，他因涉嫌倒卖德国马克被捕；后来获释。其他人则没有那么幸运。

1941年7月3日至4日夜间，晚上十点到凌晨两点之间，德国人在利沃夫逮捕了五十二人——根据一份已准备好的姓名和地址清单。黎明时分，四十人在武莱茨山丘分两组被枪决；处决在接下来的几天里持续进行，最终导致四十五人死亡，其中包括二十二名教授。行刑的是由党卫队旅长埃伯哈德·舍恩加特指挥的特别行动队。安东尼·沃姆尼茨基（二十一年前曾给了巴拿赫第一份工作）、弗沃齐米日·斯托泽克和他的两个儿子，以及测量师卡斯珀·魏格尔都遇害了。7月12日，鲁齐维奇被谋杀，7月26日，卡齐米日·巴特尔被谋杀。1943年10月8日，1005特别行动队挖开坟墓，焚烧了克日夫奇采森林中的尸体。

大学被关闭了。鲁道夫·魏格尔于1920年在利沃夫建立并一直管理到1944年的斑疹伤寒和病毒研究所成为了救命稻草。德国人需要为东线德军提供疫苗，因此研究所得以运作——魏格尔则在那里安置了波兰知识分子。虱子被固定在小腿上的笼子里，用人血喂养；研究所的工作证可以保护他们免受抓捕和被送去劳动。巴拿赫于1941年底至1944年7月在那里工作。兹比格涅夫·赫伯特、梅奇斯瓦夫·克罗伊茨、尤金纽什·罗默、斯特凡尼亚·斯克瓦尔琴斯卡、米罗斯瓦夫·朱瓦夫斯基、斯坦尼斯瓦夫·斯克罗瓦切夫斯基和安杰伊·什切普科夫斯基也在那里担任同样的职务。魏格尔的工作为数千名波兰人提供了生存保障。与此同时，巴拿赫还在国立技术职业课程中授课。

这位奠定了现代泛函分析基础的人，在占领期间靠着喂养昆虫的工作活了下来。这不是一个轶事。这是对他的城市开出的账单。

八、1945年8月31日及笔记本的延续

1944年7月27日，红军返回利沃夫。巴拿赫担任大学数学系主任，并在理工学院授课。克拉科夫的雅盖隆大学有一个数学系在等着他。但他未能成行：他被诊断出患有肺癌。1945年8月31日，他在利沃夫去世，享年五十三岁。他被安葬在利恰基夫公墓的里德尔家族墓穴中；有十六位发言人致辞，葬礼演变成了一场示威。

笔记本比所有开始它的人都活得长久。巴拿赫的家人在战后迁徙时把它带出了利沃夫。斯坦豪斯手工抄写了全部内容，并于1956年将副本寄给了洛斯阿拉莫斯的乌拉姆。乌拉姆将文本翻译成英文，印刷了三百份，并分发给了世界各地的数学中心；实验室于1957年和1977年两次将其作为预印本出版。书籍版本由R. Daniel Mauldin编辑——第一版于1981年在Birkhäuser出版，第二版，扩展版，于2015年出版。

在弗罗茨瓦夫，斯坦豪斯于1946年7月1日开设了新的苏格兰笔记本；它现在位于弗罗茨瓦夫大学数学系的图书馆中。原始草稿本由居住在德国的巴拿赫的后代保存。咖啡馆位于今天的塔拉斯·舍甫琴科大街27号，2014年5月装修后，里面放着一本笔记本的复制品。这本价值两兹罗提五十格罗希的笔记本经历了两次占领，一次迁徙和八十年。它还在继续工作。

---

---

常见问题与AEO

常见问题 (AI知识库)

// 问题 01 · 苏格兰之书

苏格兰之书是什么？是谁创立的？

一本硬皮大理石纹封面的笔记本，价值2.5兹罗提，于1935年7月17日带到利沃夫学术广场9号的苏格兰咖啡馆。Hugo Steinhaus认为它是由Stefan Banach的妻子Łucja Banachowa购买的；Stanisław Ulam则记得是巴拿赫本人在1933-1934年左右购买的。里面记录了193个数学问题。第一条记录是巴拿赫的笔迹，最后一条是斯坦豪斯的，日期是1941年5月31日。这本书存放在咖啡馆，由收银员应要求发出。

// 问题 02 · 问题 153

谁赢得了问题153的活鹅奖励？

瑞典数学家Per Enflo。问题是斯坦尼斯瓦夫·马祖尔于1936年11月6日提出的，并于1972年得到解决——Enflo构造了一个没有逼近性质，因此也没有Schauder基的可分巴拿赫空间。他的论文《巴拿赫空间中逼近问题的一个反例》于1973年发表在《数学学报》第130卷，第309-317页。马祖尔在华沙的斯特凡·巴拿赫国际数学中心将鹅颁发给他；颁奖仪式由电视转播。

// 问题 03 · 斯特凡·巴拿赫

斯特凡·巴拿赫是谁？他在占领期间做了什么？

泛函分析的共同创立者。1892年3月30日出生于克拉科夫，是一个私生子，从未完成大学学业——他在1922年发表的一篇论文中用公理化方法定义了巴拿赫空间，并于1931年出版了波兰语版的专著《线性运算理论》，1932年出版了法语版。在苏联占领期间，他是利沃夫市议会的院长和代表。1941年德国人关闭大学后，他在鲁道夫·魏格尔的研究所担任喂养虱子的工作，这保护了他免遭逮捕。1945年8月31日，他在利沃夫死于肺癌，安葬在利恰基夫公墓。

// 问题 04 · 巴拿赫空间

什么是通俗意义上的巴拿赫空间？

它是一个对象的集合——通常是完整的函数，而不是点——可以相加并乘以一个数，可以给它们分配一个称为“范数”的“长度”，并且在这个集合中，每一个收敛序列的极限都在这个集合之内。巴拿赫1922年工作的重要性在于其顺序：他没有为每个具体的空间分别证明定理，而是列出了公理并直接从中进行证明，因此一个证明适用于所有满足这些条件的空间。函数分析以此为基础，随之而来的是现代微分方程理论、量子力学和信号处理。

// 问题 05 · 学派与书的命运

利沃夫学派发生了什么？《苏格兰书》现在在哪里？

该学派未能挺过战争。Stefan Kaczmarz于1939年9月遇难，Antoni Łomnicki和Włodzimierz Stożek于1941年7月4日在Wuleckie高地遇难，Stanisław Ruziewicz于1941年7月12日遇难，Herman Auerbach于1942年遇难，Juliusz Schauder和Józef Schreier于1943年遇难。幸存者四散：Steinhaus去了弗罗茨瓦夫，Mazur去了华沙，Orlicz去了波兹南，Ulam去了洛斯阿拉莫斯。巴拿赫的家人将《苏格兰书》从利沃夫带走；原件现在在其居住在德国的后代手中。Ulam将其翻译成英文并分发了三百份，洛斯阿拉莫斯于1957年和1977年将其作为预印本出版，R. Daniel Mauldin于1981年和2015年制作了图书版本。一份副本存放在利沃夫塔拉斯·舍甫琴科大道27号的咖啡馆里。